Gödel'in eksiklik teoremi...

23.12.2015 19:52:16
A+ A-

Matemetik evrenin dili olarak bilinir. Özellikle fizik, matematiğin temelleri üzerine oturmuştur. Matemetiğin doğruluğu ve yanılmazlığı diğer bilim dalları içinde bu nedenle önemlidir. Biz herşeyi matematik teoremleri ile kavrayabileceğimizi, bir gün evrenin kuralını bir teoreme dökebileceğimizi varsayarak bilimin yol göstericiliğine  inanırız. Matematiğin kesinliği olmasa bizim bilime olan inancımız bu denli sarsılmaz olmayabilirdi....Bunu bir fizikci olarak açıklıkla söyelebilirim..
 
Ama bu yüzyılın başında Kurt Gödel insanlığın matemetiğin kesinliği ve yanılmazlığı üzerine olan bu düşüncelerine gölge düşüren bir ispatda bulundu. Daha sonra bu gölgenin anlamsız olduğunu anlatacağım ama şimdi Gödel in eksiklik teoreminden bahsetmeden, ondan önce  matematiğin bu yöndeki gelişmeleri özetlemem gerek.
 
Antik yunan dan beri uzun bir süre matematik goemetriyle neredeyse eşanlamlı görüldü..Matematİğin kurallarıda geometrinin kurallarına eşdeğer görülüyordu. Bu anlamada Mö 330 yılında doğan öklid in aksiyomları yüzyıllar boyu insanlığa yol gösterici oldu. Geometri bu uzun bir dönem matematik adına insanlığa yeterli oldu. Öklid in 5 aksiyomunu yazmadan önce aksiyom ne demek onu açıklığa kavuşturmak gerek. Aksiyom kendiliğinden açık olan ve öncesi bir çıkarıma gerek kalmayacak kesinlikte olan önermelerdir. İspatları yapılamaz. Önkabulle doğru sayılırlar. Öyleki örneğin öklid in bulduğu aksiyomlarla geometrinin bütün teoremlerine ulaşılabilir. Yani aksiyomlar en temel önermelerdir. Şimdi kısaca öklid in geometri üzerine aksiyomlarını yazayım.
 
1- İki nokta arasından yalnız bir doğru geçebilir.
2- Bir doğru parçası her iki yönde sonsuza kadar uzatılabilir.
3- İki noktadan biri mekrez olması şartıyla diğer noktadan geçen yalnız bir çember çizilebilir.
4- Bütün dik açılar bir birine eşittir.
5- Bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya yalnız bir tane paralel doğru çizilebilir.
 
Yukarıda yazdığım Öklid in 5 aksiyomu ile geometrinin bütün teoremleri çıkartılabilir. Ancak 19. yüzyılda öklidci 3 boyutlu uzaydan n boyutlu uzayların varlığının gösterilmesiyle 5. madde üzerinde Rieman uzaylarına göre uyarlama yapıldı.
 
19. yüzyıla gelindiğinde geometrideki aksiyomatikleştirme yoluyla bütün teoremlerin elde edilmesi yönteminin matematiğin tamamına uyarlanabileceği düşüncesi ortaya atıldı. Bu düşüncenin en öenemli temsilcisi ve bu konuda en fazla ilerleme kaydeden David Hilbert oldu. Bu amaçlada 4 temel kural ortaya koydu. Bunlar..
 
1- İfadelern biçimselleştirilmesi...Biçimsellik toeremlerin sade ve anlaşılır biçimde ifade edilmeleri için gereklidir. Bu biçimsellik aynı zaman da mantıksal ifadelerde de kullanılır.
 
2- Aksşyomların biçimselleştirilmiş halleri çelişkisiz olmalı. Yani bir ifadenin hem kendisinin hemde değil inin doğruluğu ispatlanamamalı.
 
3- Yeni oluşturulacak olan bu aksiyomlardan bütün teorilerin üretilebilmesi gerekir.
 
4- Son olarak bütün teoremlerin doğruluğuna yada yanlışlığına oluşturduğumuz biçimsel aksiyometrik ifadlerle karar verilebilmeli.
 
Buna çok bilinen bir örnek;
 
1. aksiyom- "Bütün insanlar ölümlüdür "
2. aksiyom- "Sokrates bir insandır"
 
Çıkarım yada teorem "O zaman sorates bir ölümlüdür.."
 
Hilbert, matematiğin genelinin, aynen öklidin geometri de yaptığı gibi, aksiyometrik olmasının gerekli koşullarını bu şekilde sıraladıktan sonra bu yönde en büyük çaba Russell ve Whitehead'in birlikte yazdıkları 3 ciltlik Principia Mathematica dır. O zaman için bütün matemetik teoremlerinin kitaptaki aksiyom setlerin den çıkarılabileceği düşünülüyordu. Aynen bir dilin alfabeden oluşturulması gibi matemetiğin alfabesi de  Principia Mathematica(metematiğin prensipleri) deki aksiyomlardan oluşturulabilirdi.
 
Burada şunu belirtmek gerek aksiyomatikleştirme matemetiğin yada hayatın her alanında yapılabilir bir şeydir. Yukarıda geometri için öklid aksiyomlarını yazdım. Aynı şey sayılar matematiği gibi alt dallarında da yapılabilir..Burada önemli olan hilbert in yukarıda saydığım dört kuralına uyulması. Matemağin prensipleri matemetiğin bütün çıkarımlarının kendisinde varolan aksiyomlardan türetilebileceğini iddia eden ve doğruluğu kabul gören bir kitaptı.
 
Bu aşamada matematikteki paradokslar dan bahsetmek gerek. Çünkü paradokslar matematikte çözülmeyi bekleyen en önemli sorun olarak görülüyordu. Konuya en bilinen paradoks örneğini vererek başlayayım....
 
Şöyle iki aksiyom düşünün..
 
1. Bütün Giritliler hep yalan söyler..
2. Bende bir Giritliyim..
 
Bu iki aksiyomdan bunu söyleyenin doğrumu yalan mı söylediğini anlayamıyoruz. Çünkü eğer 1. aksişyom doğru ise 2. aksiyomda söyleyenin de Girit li olmasından dolayı söyleyen 1. aksiyomu yalan söylemiş olması gerekir. Ama yalan söylemişse aksiyom bütün Giritliler doğru söyler halini alır ki bu durumda başa dönmüş oluruz. Böylece adamın yalan mı doğru mu söylediği anlaşılamaz. Başka bir örnek de şu şekilde oluşturulabilir....
 
Yalnız bir berberi olan bir köyde şu kurallar konmuştur.
 
1. aksiyom(kural)  Herkes traşlı gezmek zorundadır
2. aksiyom(kural)  Kendi kendine traş olamayanlar berbere traş olurlar.
 
Bu durumda berber kime tarş olur sorusunun cevabı hiç bir zaman verilemez. Zira berber kendi kedini traş ettiği sürece 2. aksiyomu ihlal etmiş olur.
 
Bu tür paradokslar küçük akisyometrik yapılarda görünebildiğine göre acaba matematiğin genel prensipleri içndede aynı duruma düşülebilinir mi sorusu Principia Mathematica  yazılırken en dikkat edilen konulardan biriydi. Ve kitabın paradoksal yapılardan arındırıldığı iddia ediliyordu.
 
Şimdiye kadar anlattıklarım Gödel in eksiklik teoremine gelinceye kadar ki süreci özetliyor. Gödel in bu teoremi en temel olarak matematiğin temel aksyomları ile matemetik teoremlerinin geneli üzerinde her teoremin doğru yada yanlışlanabilir olduğunun söylenemez olduğunu ispat etti. Onun, Hilbert in aksiyometrik yapılardaki zorunlulukları göz önüne alarak, vardığı iki sonucu şöyle özetleyebiliriz.
 
1-Elementer aritmetik içeren (yani temel matematik) aksiyometrik bir sistem tutarlı ise eksiksiz, eksiksiz ise tutarlı değildir.
 
2-Elementer aritmetik içeren (yani temel matemetik) aksiyometrik bir sistemin tutarlılığını aksiyomlarını kullanarak ispatlamak mümkün değildir..
 
2. Çıkarım gösteriyor ki kapalı bir akisyomlar kümesinin tutarlılığı kümenin elemanlarını kullanarak ispatlanamaz. Bu durumda temel aritmetik kuralları içeren matematiğin tamamı düşünüldüğünde buna dayanarak vardığımız sonuçların doğruluğu yada yanlışlığı hiçbir zaman kanıtlanamaz.
 
Gödel bu çıkarımları yaparken Principia Mathematica nın ulaştığı temel matematik aksiyomlarını simgeleştirerek üst matematik kuralları oluşturdu. Bu sayde Principia Mathematica nın kuralaarına üsten bakan bir yapı geliştirdi. Aksi takdirde vardığı sonuca ulaşması kendisiyle çelişmesi anlamına gelirdi zaten. Yaptığı matemetiğin temel aksiyomlarını biçimselleştirip onlardan daha genel sonuçlar çıkarmak oldu. Bu sayede anlaşılması oldukça zor bir ispatla Principia Mathematica nın bir çıkmaz olduğunu gösterdi. Bu çıkmazdan kurtulmak için Principia Mathematica ya eklenecek her yeni aksiyom onu başka bir çıkmaza sürüklüyordu....
 
Gödel in eksiklik teoremi bir çoklarınca matemetiğin ve böylece bilimin sonu gibi görüldü. Ama bu onun vardığı sonucu iyi anlamamanın bir sonucudur. Şöyleki matematiğin kendi dünyası içindeki kurallarla kendi tutarlılığının ispat edilememesi onun yanlış olduğunu göstermez. Daha da ötesi onun yaptığı gibi üst matematik le bu sorun aşılabilir. Ama en önemlisi bilim hiçbir zaman  herşeyin kuralını bulmayı hedefleyemez. Hedef uzaklarda bir yerlerdedir. Bizim yaptığımız merdivenlerin basamaklarını çıkmaktan başka bir şey değildir.
 
Gödel teoreminin nin bilgisayar işlemlerine yansımasını ilk gören Alan Turing olmuştur. Bilgisayarın karar verebilme yeteneği ona yüklenen matematiksel foksiyonların sonuçlarına bağlıdır. Alan Turing bazı fonksiyonların sonucunun açık olduğunu gösterip bu durumda bilgisayarın döngüye gireceğini göstermiştir. Asıl sorun olan girilen değerlerle fonksiyonun sonlu yada sonsuz bir çözümünün olduğunun ispatının her zaman bulunamayabileceğinin gösterilmesi olmuştur. Bu durumda  yapay zeka üzerine yapılan çalışmalarda sonucuna karar verilemeyen fonksiyonlar olduğunda bilgisayarın nasıl bir tepki vereceği sorusu havada durmaktadır.  
 
Son olarak Gödel in eksiklik teoreminin bana göre günlük hayata uyarlanabilceği Einstenin söylediği iddia edilen benim de çok sevdiğim bir söz vardır onu yazarak bitireyim..
 
"No problem can be solved from the same level of consciousness that created it" yani
 
"Hicbir sorun onu yaratan bilinc seviyesinden cozulemez"
 
serol. aksel@gmail. com
 
 


YORUM YAZ
Yorumunuzu girmek için sisteme giriş yapmalısınız.
Eğer üye değilseniz üye olunuz.